許多頂尖大學(xué)雖然沒(méi)明說(shuō)，但都更喜歡工程、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等課程的學(xué)生拿到數(shù)學(xué)A*。能學(xué)好Alevel數(shù)學(xué)，被視為學(xué)生可以分析和解決復(fù)雜問(wèn)題能力的證明。
我們今天的主題就探討：普通學(xué)生怎么在Alevel數(shù)學(xué)中獲得A*？
首先我們先來(lái)了解一下進(jìn)階數(shù)學(xué)。進(jìn)階數(shù)學(xué)一共分為4個(gè)paper，包括Further Pure Mathematics1, Further Pure Mathematics2, Further Mechanics, Further Probability & Statistics。
在AS階段，學(xué)生可以根據(jù)自己學(xué)校的要求選擇FP1和進(jìn)階統(tǒng)計(jì)，或者FP1和進(jìn)階力學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)；在AL階段，我們就可以學(xué)習(xí)另外兩門(mén)paper啦。通常學(xué)校會(huì)建議在AS階段學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)相對(duì)比力學(xué)要更好上手，計(jì)算復(fù)雜度更小。
圖片源于CAIE官方大綱
那么每個(gè)Paper怎么考呢？FP1和FP2的卷面分?jǐn)?shù)均為75分, 考生要求在2h內(nèi)回答完成十余道大題。Further Mechanics和Further Statistics為50分，答題時(shí)間1.5h。
根據(jù)官方Syllabus，F(xiàn)P1覆蓋了關(guān)于多項(xiàng)式，數(shù)列，矩陣，極坐標(biāo)，向量以及數(shù)學(xué)歸納法，而FP2重點(diǎn)則學(xué)習(xí)雙曲方程，復(fù)數(shù)和微分方程，同時(shí)拓展并深入了微積分和矩陣。很多同學(xué)好奇：FP1和2的難度是不是差距特別大啊？
小編認(rèn)為，在知識(shí)點(diǎn)上FP2的確需要更“深厚”的微積分能力，而且在解決像微分方程，復(fù)數(shù)等問(wèn)題的時(shí)候需要的步驟和理解更加繁瑣。但是FP1和FP2大部分的知識(shí)點(diǎn)并沒(méi)有重合，因此雖然計(jì)算難度和理解難度大了一點(diǎn)，并不會(huì)存在像“同是解二次方程，突然從2x+7=y變成了超級(jí)復(fù)雜的行程問(wèn)題”的落差。
statistics則更重視“方法論”，根據(jù)不一樣的情況，我們會(huì)學(xué)習(xí)不同的hypothesis tests。mechanics更加靈活，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)是把物理的力學(xué)問(wèn)題模型化，研究一些像平衡，圓周運(yùn)動(dòng)，撞擊等問(wèn)題?？傊?，FM學(xué)的還是相當(dāng)?shù)亩?，相?dāng)?shù)撵`活！
拿捏考試第二步：
行軍大局的general tips
接下來(lái)要說(shuō)的tips適用于FurtherPure和Statistics。先說(shuō)FM考試的特點(diǎn)，我覺(jué)得總體很“套路化”和“公式化”。“套路化”是學(xué)習(xí)的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)只有相對(duì)應(yīng)的幾種考法，并且每次考試的題型統(tǒng)一。大家可以做好FM一共學(xué)了幾個(gè)章節(jié)卷子就會(huì)出幾道題的準(zhǔn)備：一個(gè)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一道題。
舉個(gè)例子吧，在FP2學(xué)習(xí)matrix的時(shí)候，我們學(xué)習(xí)了Eigenvector和Eigenvalue的求法，那考試對(duì)應(yīng)的就是直接問(wèn)如何從一個(gè)已知的3*3矩陣中求這兩個(gè)，學(xué)到的知識(shí)點(diǎn)都會(huì)以最直接的形式考你！
“公式化”則是在考場(chǎng)的時(shí)候更加注重如何去解而不是為什么。比如，在integration章節(jié)我們涉及了極坐標(biāo)下的各種圖形的面積和翻轉(zhuǎn)體積，考試的時(shí)候會(huì)直接讓我們利用公式解題而不強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)過(guò)程。同學(xué)們聽(tīng)了肯定覺(jué)得：這不易如反掌了！
根據(jù)這兩個(gè)總體的特點(diǎn)，我認(rèn)為唯二的應(yīng)對(duì)策略就是重視學(xué)習(xí)基礎(chǔ)+多刷題多總結(jié)。下面我總結(jié)了學(xué)習(xí)的幾個(gè)step：
1. 認(rèn)真聽(tīng)講/認(rèn)真刷課
如果是跟著學(xué)校學(xué)，課堂永遠(yuǎn)放在number1！如果是自學(xué)，課本永遠(yuǎn)是最靠譜的！我的學(xué)校老師講解是完全按照課本邏輯的，比如說(shuō)，在FP1的polar極坐標(biāo)中分為3個(gè)小節(jié)，分別是認(rèn)識(shí)polar coordinate，畫(huà)圖，以及算面積。實(shí)際上，最后的FP1考試中極坐標(biāo)也會(huì)只考察這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)。
所以我一直秉承著教材為本的邏輯，考生可以很明確的知道每個(gè)章節(jié)要掌握的內(nèi)容。對(duì)于市面上的各種notes我一直持有懷疑態(tài)度，建議初學(xué)者謹(jǐn)慎使用。
還以Polar這章為例，我們都清楚以下當(dāng)之無(wú)愧歸屬于筆記（教我們?nèi)绾巫鯬olar和Cartesian的方程轉(zhuǎn)換）
圖片為小編整理筆記
那做題呢？幾乎每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)下面都對(duì)應(yīng)著examples和solutions。這也就無(wú)形中教我們?nèi)绾伟焉厦嬗浀囊淮蟠淖洲D(zhuǎn)化成考試可以利用的“方法論”。這部分“方法論”也應(yīng)該記在筆記中，作為做題的指導(dǎo)方針。
圖片為小編整理筆記
在做完worked example之后，建議大家直接從真題里找題。比如說(shuō)以May/June 2023的FP1為例子，就像我之前說(shuō)的，只會(huì)有1-2道題出現(xiàn)polar的知識(shí)點(diǎn)，所以很容易提取出chapter questions。
我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，sketch的題不就對(duì)應(yīng)著書(shū)中的5.2-sketching curve with polar coordinates, area的題就對(duì)應(yīng)著5.3。這種很直接的1V1對(duì)應(yīng)讓我們可以點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的檢驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)是否學(xué)習(xí)完善。比如，在學(xué)完sketch做完worked example之后，就可以去模仿學(xué)習(xí)過(guò)的方法論去挑戰(zhàn)真題了。
圖片為CAIE May/June 2023FP1真題
當(dāng)然，尤其對(duì)于自學(xué)的同學(xué)們，如果大家有時(shí)間可以整理一個(gè)自己的習(xí)題冊(cè)。比如說(shuō)在學(xué)完polar的第三部分area之后，我們?cè)趐ast paper中提取出來(lái)很多有關(guān)此的題目放到合集中，就像這樣。久而久之，你就會(huì)收獲自己整理的一套chapter questions！
在學(xué)完每一個(gè)chapter之后都要復(fù)習(xí)！就以matrix來(lái)說(shuō)吧，你要知道行列式，inverse等等應(yīng)該怎么求，小的知識(shí)點(diǎn)非常繁瑣。所以我還是建議同學(xué)們用最直接的思維導(dǎo)圖的方式捋清楚知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系。
如果在學(xué)完一個(gè)chapter之后整理出這樣的一份思維導(dǎo)圖和上面提到的worksheet，那么在最終大考復(fù)習(xí)的時(shí)候，要解決的就是根據(jù)思維導(dǎo)圖的分支去對(duì)應(yīng)相應(yīng)的worksheet，這不分分鐘有了復(fù)習(xí)攻略。
圖片為小編整理筆記
當(dāng)然，說(shuō)完高數(shù)非?？煽氐牟糠?，再說(shuō)說(shuō)它讓人“恨”的部分——知識(shí)點(diǎn)多而且碎；對(duì)于初學(xué)者解決問(wèn)題的步驟繁雜，不好入手；積分部分計(jì)算量太大。
知識(shí)點(diǎn)多和碎倒是恰恰好可以用思維導(dǎo)圖的方法解決。步驟繁雜不好入手屬further statistics體現(xiàn)的最明顯，就以further stats中的Non-parametric tests為例，里面我們學(xué)習(xí)了Wilcoxon signed-rank test，the Wilcoxon rank-sum test，其中又分為paired-sample sign test，Wilcoxon matched-pairs signed-rank test等等，捋清楚什么樣的情況用什么test倒是可以用思維導(dǎo)圖解決，那具體的步驟呢？
我的建議是運(yùn)用“照貓畫(huà)虎”的方法。比如，你可以先找到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的用Wilcoxon matched-pairs signed-rank test的題目和答案，再在past paper中利用matched-pairs關(guān)鍵詞找一道真題。學(xué)著solution的方法，一步一步應(yīng)用到自己的題目中。
不光Further statistics中可以這樣，再比如FP2中的微分方程，second order的步驟一樣非常繁瑣，難以記憶。那就還像上面一樣沿著sample question的思路，一步一步運(yùn)用到真題中。就這樣不怕麻煩的“照貓畫(huà)虎”，你就能更熟練的解題！
積分的計(jì)算真是太難算了??！同時(shí)他又遍布在所有的章節(jié)里面，FP1是要求我們掌握p3的各種積分方法的，所以你將會(huì)在polar算面積中收獲一大堆復(fù)雜的積分運(yùn)算。FP2則會(huì)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)積分的很多種新方法，同樣，在integration的章節(jié)中會(huì)大面積的考察。
積分還是強(qiáng)調(diào)熟練度和方法性，對(duì)于正在學(xué)FP1的同學(xué)，建議大家先學(xué)習(xí)p3的integration部分，并且按部就班的把書(shū)中的習(xí)題做完。同時(shí)可以養(yǎng)成總結(jié)積分的習(xí)慣，將paper中比較難或者常用的積分總結(jié)并記下來(lái)（就像這樣），主打就是培養(yǎng)一個(gè)“眼熟”。正在學(xué)FP2的同學(xué)，inte是重災(zāi)區(qū)，建議秉持著能多練習(xí)就多練習(xí)的心態(tài)（刷完書(shū)本中的example，甚至去求解一些integration bee中的問(wèn)題）。
圖片為小編整理筆記
有些同學(xué)可能說(shuō)FP和stats的大概學(xué)習(xí)方法和重難點(diǎn)已經(jīng)明白了，那進(jìn)階力學(xué)腫么辦？
mechanics相比于知識(shí)點(diǎn)的熟練掌握，還是更注重學(xué)生如何靈活的做題。就以FM的circular motion這個(gè)章節(jié)為例子，知識(shí)點(diǎn)就是向心力，向心加速度怎么算等，但是實(shí)際上你將會(huì)收獲一堆有關(guān)string以奇奇怪怪的方法轉(zhuǎn)的考題。所以學(xué)習(xí)并不是重點(diǎn)，勤于應(yīng)用才是！
在每個(gè)章節(jié)結(jié)束之后，大家可以直接去past paper中找題刷，這里不光光要利用到“照貓畫(huà)虎”的方法，也要懂得一個(gè)叫“ingredients”的方法。比如說(shuō)以hookes law這章節(jié)為例子，我們可以如何描述一個(gè)string/spring/小球的運(yùn)動(dòng)呢，無(wú)非就是彈性系數(shù)，彈簧伸長(zhǎng)量，彈簧上的受力，而他們都是互相可以用公式轉(zhuǎn)化的。所以我們的老師也一直強(qiáng)調(diào)用已知求未知的方法一步步推進(jìn)。先解決幾個(gè)未知量，再挪向答案！
適合的才是最好的：
每個(gè)paper的重難點(diǎn)&應(yīng)對(duì)策略
大概的學(xué)習(xí)步驟和方法就講完了，下面來(lái)預(yù)告一下有什么難的章節(jié)和應(yīng)對(duì)方法。
對(duì)于FP1來(lái)說(shuō)，前三章都不算難，和pure的銜接還相對(duì)緊密。第一個(gè)難點(diǎn)出現(xiàn)在polar coordinates，知識(shí)點(diǎn)很少，但是area的部分需要大量的積分運(yùn)算，如果是剛剛學(xué)完p1，那需要先補(bǔ)充integration的知識(shí)再去學(xué)習(xí)這部分。
第六章vector也是一個(gè)大考點(diǎn)（難點(diǎn)），基本的知識(shí)很簡(jiǎn)單，但是straight line和plane的方程如何求解，以及如何求解各種distance的問(wèn)題還是很繁瑣的。應(yīng)對(duì)策略是用思維導(dǎo)圖的方法理清楚考點(diǎn)，更重要的是，不要指望著能完全背下來(lái)distance公式，一定一定注重推導(dǎo)的過(guò)程。
第二章矩陣，可以算是一個(gè)難點(diǎn)，考試的時(shí)候出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)也很多。他的難點(diǎn)在于信息量特別特別大，并且基于FP1的矩陣做擴(kuò)展。應(yīng)對(duì)的方法是在學(xué)習(xí)FP2的矩陣之前抽時(shí)間復(fù)習(xí)FP1的內(nèi)容，熟練的會(huì)算inverse，行列式和基礎(chǔ)的計(jì)算。
學(xué)習(xí)的時(shí)候一定要用思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行整理，理清楚eigenvalue，eigenvector，diagonalisation，以及diagonalisation的拓展應(yīng)用之間的關(guān)系。并且要不厭其煩地“照貓畫(huà)虎”的刷題才能熟練掌握。
第四章integration，首先是加入了一大批新的integration并且要求我們熟練掌握像substitution這樣的方法，熟練工比啥都重要！reduction formula是一個(gè)大大的難點(diǎn)，難點(diǎn)在于by parts分部積分不知道如何分才合理。這塊需要我們懂得觀(guān)察法，從需要求證的結(jié)果入手，反手推出如何合理的by parts。二話(huà)不說(shuō)，咱們還是多做做題吧。
第六章de和matrix有異曲同工之妙，知識(shí)點(diǎn)超級(jí)多，并且還需要背誦second order的PI。應(yīng)對(duì)策略還是思維導(dǎo)圖和“照貓畫(huà)虎”，學(xué)習(xí)的時(shí)候一定要理解particular integral（PI）和complementary function（CF）是什么，不然步驟背誦的有點(diǎn)像背天書(shū)。
Further Stats其實(shí)有點(diǎn)像“背書(shū)”?？傊}目中會(huì)給你一種場(chǎng)景，大家根據(jù)題目選定合適的hypothesis test。第二章節(jié)normal and t-distributions剛學(xué)習(xí)起來(lái)會(huì)有些理解上的困難，需要花時(shí)間去認(rèn)識(shí)什么是hypothesis test以及背后的邏輯，但在“入門(mén)”之后學(xué)習(xí)別的檢驗(yàn)方式就很輕松了！這部分建議大家在youtube上找一些normal distribution的視頻（khan academy的系列很不錯(cuò)）
probability generating function將概率和函數(shù)進(jìn)行結(jié)合，理解上也算是一個(gè)小難點(diǎn)。好在題目考察的方式統(tǒng)一，考刷題就夠了。
further mechanics堪稱(chēng)是further math的計(jì)算天花板，很多的章節(jié)和al物理的syllabus重疊多，但是對(duì)定量計(jì)算要求更高。
第二章equilibrium of rigid body是一個(gè)大難點(diǎn)，我們需要算各種圖形的center of mass（formula booklet里面有公式）此章節(jié)還涉及到toppling和moment的問(wèn)題，這對(duì)我們受力分析的能力以及找合適的moment的能力要求較高，只能通過(guò)多刷題來(lái)提高熟練度。
第四章hooke’s law有些題目結(jié)合了energy和circular motion，考察比較綜合。我認(rèn)為這部分的知識(shí)難度不大，但是在做題的時(shí)候容易沒(méi)有突破口，建議大家可以通過(guò)整理題型的方式瞄準(zhǔn)每道題的考察點(diǎn)（到底是用energy做題呢，還是kinematic）總之，F(xiàn)M就是帶著耐心刷題。
干貨就講到這啦。進(jìn)階數(shù)學(xué)的內(nèi)容雜，的確需要同學(xué)們比較有耐心，踏踏實(shí)實(shí)的學(xué)習(xí)。雖然被稱(chēng)為“難度天花板”，但是希望大家看完這篇文章能更明確努力的方向。小小A*，速速拿下！
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